Relazione tra l’invertibilità di una matrice e i suoi autovalori

Dare la definizione di matrice inversa di una matrice, illustrando con esempi di matrici 3x3
invertibili e non invertibili. Che relazione c’è tra l’invertibilità di una matrice e i suoi autovalori?

La prima parte della domanda è semplice, ma non mi viene in mente cosa rispondere a quella in grassetto…

Risolto! Ha a che fare con la biiettività dii una funzione (se è biiettiva e invertibile). Essendo che parla di autovalori la funzione è un endomorfismo, perciò è iniettiva (e suriettiva -> da nullità + rango) se il nucleo ha dimensione 0. Questo avviene quando la matrice in questione ha autovalori tutti diversi da zero (basti pensare alla matrice diagonalizzata, avrebbe una riga nulla e il determinante sarebbe zero, quindi non sarebbe invertibile -> essendo la matrice diagonale e la matrice di partenza simili hanno lo stesso determinante, che deve essere diverso da zero perchè sia invertibile :wink: )

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