Esercizio Composizioni

Siano f:X \rightarrow Y e g:Y \rightarrow Z due funzioni. Dimostrare che:

  1. Se f e g sono iniettive, allora g \circ f è iniettiva
  2. Se f e g sono suriettive, allora g \circ f è suriettiva
  3. Se f e g sono biettive, allora g \circ f è biettiva
  1. g è iniettiva \Rightarrow \forall y_1,y_2 \quad t.c. \quad y_1 \neq y_2 \Rightarrow g(y_1)\neq g(y_2)
    f è iniettiva \Rightarrow \forall x_1,x_2 \quad t.c. \quad x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)

    Assumendo f(x_1)=y_1 , f(x_2)= y_2 \quad ricavo che
    \quad (g \circ f)(x_1) \neq (g \circ f)(x_2)\Rightarrow g (f(x_1)) \neq g (f(x_2)) \Rightarrow g(y_1)\neq g(y_2)

    La diseguaglianza è verificata e quindi ho dimostrato il punto 1
  2. Lo abbiamo fatto in classe e lo scrivo dopo cena XD